分类： 整式与分式

已知\(2^a=5^b=10\)，求解：\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

易林

本题可通过指数与对数的关系，将指数式转化为对数式，再利用对数运算性质求解，步骤如下：
步骤一：将指数式转化为对数式
已知\(2^a = 10\)，根据对数的定义（若\(c^d = e\)，则\(d = \log_c e\) ），可得\(a = \log_2 10\) ；同理，由\(5^b = 10\)，可得\(b = \log_5 10\) 。
步骤二：求\(\frac{1}{a}\)和\(\frac{1}{b}\)的表达式
根据对数的换底公式\(\log_c e=\frac{\log_m e}{\log_m c}\)（\(m\gt0\)且\(m\neq1\) ），以及对数的倒数性质\(\frac{1}{\log_c e}=\log_e c\)（即对数的倒数等于底数与真数互换后的对数，也叫对数的换底公式推论 ）：
对于\(\frac{1}{a}\)，因为\(a = \log_2 10\)，所以\(\frac{1}{a}=\frac{1}{\log_2 10}=\log_{10} 2 = \lg 2\)（\(\lg\)表示以10为底的对数，即常用对数 ）。
对于\(\frac{1}{b}\)，因为\(b = \log_5 10\)，所以\(\frac{1}{b}=\frac{1}{\log_5 10}=\log_{10} 5 = \lg 5\) 。
步骤三：计算\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)的值
将\(\frac{1}{a}=\lg 2\)，\(\frac{1}{b}=\lg 5\)代入\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)，根据对数运算性质\(\lg M+\lg N = \lg(MN)\) ： \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\lg 2 + \lg 5=\lg(2\times5)=\lg 10 = 1\) 。
综上，\(\boldsymbol{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1}\) 。