步骤一：分组变形
对原式\(x^4 + x^2 + 2mx + 1 – m^2\)重新分组，将\(x^4 + 2x^2 + 1\)凑成完全平方，再调整剩余项，即： \(\begin{align*} &x^4 + x^2 + 2mx + 1 – m^2\\ =&(x^4 + 2x^2 + 1) – x^2 + 2mx – m^2\\ =&(x^2 + 1)^2 – (x^2 – 2mx + m^2) \end{align*}\)
步骤二：利用公式分解
- 对于\(x^2 – 2mx + m^2\)，根据完全平方公式\(a^2 – 2ab + b^2=(a – b)^2\)，这里\(a = x\)，\(b = m\)，所以\(x^2 – 2mx + m^2=(x – m)^2\)。
- 此时式子变为\((x^2 + 1)^2 – (x – m)^2\)，再根据平方差公式\(a^2 – b^2=(a + b)(a – b)\)，其中\(a = x^2 + 1\)，\(b = x – m\)，则： \(\begin{align*} &(x^2 + 1)^2 – (x – m)^2\\ =&(x^2 + 1 + x – m)(x^2 + 1 – x + m)\\ =&(x^2 + x – m + 1)(x^2 – x + m + 1) \end{align*}\)
综上，\(x^4 + x^2 + 2mx + 1 – m^2\)因式分解的结果为\(\boldsymbol{(x^2 + x – m + 1)(x^2 – x + m + 1)}\) 。