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一、基本步骤：“一提二套三查”
- 第一步：提公因式
- 观察多项式各项是否有公因式（系数最大公约数、相同字母的最低次幂），若有则先提取。
- 例：\(6x^3y−9x^2y^2=3x^2y(2x−3y)\)。
- 第二步：套公式
- 若提公因式后剩余多项式符合公式结构，直接套用因式分解公式。
- 常用公式：
- 平方差公式：\(a^2−b^2=(a−b)(a+b)\)
- 完全平方公式：\(a^2 \pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\)
- 立方和 / 差公式：\(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)
- 完全立方公式：\(a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3 \)
- 例：\(4x^2−9=(2x)^2−3^2=(2x−3)(2x+3) \)。
- 第三步：查彻底性
- 检查分解后的每个因式是否还能继续分解，确保结果为 “最简整式乘积”。
- 例：\(x^4−1=(x^2−1)(x^2+1)=(x−1)(x+1)(x^2+1)\)（需分解到二次式不可再分解）。
二、常见题型与解题策略
（一）二次多项式（形如 \(ax^2 + bx + c\)）
- 十字相乘法
- 适用条件：a、c 可分解为两数乘积，且交叉相乘后和为 b。
- 步骤：将 \(a = m \cdot n\)，\(c = p \cdot q\)，若 \(m \cdot q + n \cdot p = b\)，则分解为 \((mx + p)(nx + q)\)。
- 例：\(2x^2 + 5x + 3\)，分解 \(2 = 2 \times 1\)，\(3 = 3 \times 1\)，且 \(2 \times 1 + 1 \times 3 = 5\)，故分解为 \((2x + 3)(x + 1)\)。
- 求根公式法
- 若二次式 \(ax^2 + bx + c\) 的根为 \(x_1, x_2\)，则分解为 \(a(x – x_1)(x – x_2)\)。
- 例：\(x^2 – 3x + 1\)，根为 \(x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)，故分解为 \((x – \frac{3 + \sqrt{5}}{2})(x – \frac{3 – \sqrt{5}}{2})\)。
（二）高次多项式（三次及以上）
- 分组分解法
- 思路：将多项式分组后，各组提公因式或套公式，再整体分解。
- 例：\(x^3 + 2x^2 – x – 2\)
- 分组：\((x^3 + 2x^2) + (-x – 2) = x^2(x + 2) – 1(x + 2) = (x + 2)(x^2 – 1) = (x + 2)(x – 1)(x + 1)\)。
- 拆项与添项法
- 通过拆项或添项构造公因式或公式结构。
- 例：分解 \(x^4 + 4\)
- 添项：\(x^4 + 4x^2 + 4 – 4x^2 = (x^2 + 2)^2 – (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 – 2x + 2)\)。
- 待定系数法
- 假设分解为特定形式（如二次式乘二次式），通过对比系数确定参数。
- 如前例 \(4x^4 + 7x^2 + 16\) 的分解。
（三）对称多项式
- 形如 \(x^n + y^n\) 或 \(x^n + x^{n-1}y + \dots + y^n\)，可利用对称性设因式。
- 例：\(x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx)\)。
三、复杂题型的进阶技巧
- 换元法
- 用新变量替换多项式中的部分式子，简化结构。
- 例：分解 \((x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) – 12\)
- 设 \(y = x^2 + x + 1\)，则原式 \(= y(y + 1) – 12 = y^2 + y – 12 = (y + 4)(y – 3)\)，再回代得 \((x^2 + x + 5)(x^2 + x – 2) = (x^2 + x + 5)(x + 2)(x – 1)\)。
- 因式定理
- 若多项式 \(f(x)\) 满足 \(f(a) = 0\)，则 \((x – a)\) 是 \(f(x)\) 的因式。
- 例：分解 \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6\)，试根 \(x=1\) 时，\(1 – 6 + 11 – 6 = 0\)，故含因式 \((x – 1)\)，再用多项式除法或分组分解得 \((x – 1)(x – 2)(x – 3)\)。
- 主元法
- 选定一个变量为主元，其余视为常数，整理后分解。
- 例：分解 \(x^2 + xy – 6y^2 + x + 13y – 6\)，以 x 为主元，整理为 \(x^2 + (y + 1)x – (6y^2 – 13y + 6)\)，再用十字相乘法分解为 \((x + 3y – 2)(x – 2y + 3)\)。
四、易错点与注意事项
- 公因式提取不彻底
- 例：\(2x^4 – 2x^2 = 2x^2(x^2 – 1)\)（错误，未分解彻底），应继续分解为 \(2x^2(x – 1)(x + 1)\)。
- 公式套用错误
- 平方差公式需注意 “两项平方差”，完全平方公式需注意中间项系数为 “±2ab”。
- 例：\(x^2 + 2x + 4\) 不是完全平方，因中间项应为 4x，不可错误分解为 \((x + 2)^2\)。
- 忽视实数范围与整数范围的区别
- 在实数范围内，二次式 \(ax^2 + bx + c\) 可分解当且仅当判别式 \(\Delta \geq 0\)；在整数范围内则需十字相乘法或待定系数法满足整数系数。