已知：\(x + y + z = 0\)
且：\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\)，
求解：x的最大值。
可通过代数变形和不等式方法求解，具体步骤如下：
第一步：利用已知条件消元
由\(x + y + z = 0\)可得\(z = -x – y\)，将其代入平方和方程：\(x^2 + y^2 + (-x – y)^2 = 1\)
第二步：展开并化简方程
展开\((-x – y)^2\)得\(x^2 + 2xy + y^2\)，代入后方程变为：\(x^2 + y^2 + x^2 + 2xy + y^2 = 1\) 合并同类项：\(2x^2 + 2y^2 + 2xy = 1\) 两边除以 2：\(x^2 + y^2 + xy = \frac{1}{2}\)
第三步：将方程视为关于y的二次方程
将上式整理为以y为变量的一元二次方程：\(y^2 + xy + (x^2 – \frac{1}{2}) = 0\) 对于二次方程\(ay^2 + by + c = 0\)，有实数解的条件是判别式\(\Delta = b^2 – 4ac \geq 0\)。在此方程中：\(a = 1, \quad b = x, \quad c = x^2 – \frac{1}{2}\) 代入判别式：\(\Delta = x^2 – 4 \times 1 \times (x^2 – \frac{1}{2}) \geq 0\)
第四步：求解不等式
展开并化简判别式：\(x^2 – 4x^2 + 2 \geq 0\)\(-3x^2 + 2 \geq 0\) 移项得：\(3x^2 \leq 2\) 两边除以 3：\(x^2 \leq \frac{2}{3}\) 开平方得：\(-\frac{\sqrt{6}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt{6}}{3}\)
第五步：确定x的最大值
由上述范围可知，x的最大值为：\(x_{\text{max}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\)
答案
x的最大值为\(\boxed{\dfrac{\sqrt{6}}{3}}\)。