以下为正解：
要使用消指数法求解 \(6^x = x^{18}\)，核心思路是通过变形让等式两边指数或底数可 “对齐”，利用指数函数单调性消去指数。以下是分步推导：
步骤 1：对等式变形，构造同结构形式
原方程：\(6^x = x^{18}\)
观察到 \(x^{18} = \left(x^2\right)^9\)，或进一步调整为与左边 \(6^x\) 同指数形式。尝试将两边写成 “底数 ^ 指数” 且指数可关联的形式：
对 \(x^{18}\) 变形：\(x^{18} = \left(x^{\frac{18}{x}}\right)^x\)
因此原方程等价于：\(6^x = \left(x^{\frac{18}{x}}\right)^x\)
步骤 2：消去公共指数 x（\(x \neq 0\) 时）
由于 \(x > 0\)（若 \(x \leq 0\)，\(x^{18}\) 虽有意义，但 \(6^x > 0\)，且 \(x = 0\) 时两边不相等，可先假设 \(x > 0\)），根据指数函数单调性（若 \(a^m = b^m\) 且 \(m > 0\)，则 \(a = b\)，当 \(a,b > 0\) 时），两边同时开 x 次方（即消去指数 x），得：\(6 = x^{\frac{18}{x}}\)
步骤 3：再次变形，简化指数
令 \(t = \frac{18}{x}\)（即 \(x = \frac{18}{t}\)），代入上式得：\(6 = \left( \frac{18}{t} \right)^t\)
尝试整数解（因指数方程常隐含整数解）：
- 当 \(t = 3\) 时：\(\left( \frac{18}{3} \right)^3 = 6^3 = 216 \neq 6\)
- 当 \(t = 2\) 时：\(\left( \frac{18}{2} \right)^2 = 9^2 = 81 \neq 6\)
- 当 \(t = 1\) 时：\(\left( \frac{18}{1} \right)^1 = 18 \neq 6\)
换一种变形思路：回到 \(6 = x^{\frac{18}{x}}\)，两边取自然对数消指数：\(\ln 6 = \frac{18}{x} \cdot \ln x\) 即：\(\frac{\ln x}{x} = \frac{\ln 6}{18}\)
步骤 4：利用函数单调性找解
构造函数 \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\)，分析其单调性：
- 求导：\(f'(x) = \frac{1 – \ln x}{x^2}\)
- 当 \(x = e\) 时，\(f'(x) = 0\)，\(f(x)\) 在 \((0, e)\) 递增，在 \((e, +\infty)\) 递减。
观察特殊值：
- \(f(6) = \frac{\ln 6}{6} = \frac{3\ln 6}{18}\)
- \(f(36) = \frac{\ln 36}{36} = \frac{2\ln 6}{36} = \frac{\ln 6}{18}\)
因此，当 \(x = 36\) 时，\(\frac{\ln x}{x} = \frac{\ln 6}{18}\) 成立，代入原方程验证：
- 左边：\(6^{36}\)
- 右边：\(36^{18} = \left(6^2\right)^{18} = 6^{36}\)
两边相等，故 \(x = 36\) 是解。
步骤 5：验证边界情况
- 若 \(x = 0\)：左边 \(6^0 = 1\)，右边 \(0^{18} = 0\)，不相等，舍去。
- 若 \(x < 0\)：\(6^x > 0\)，但 \(x^{18} = |x|^{18} > 0\)，但代入原方程 \(6^x = x^{18}\)，由于 x 为负时指数运算复杂且无整数解（验证 \(x = -1, -2\) 等均不成立），故无负解。
最终结论
唯一正解为 \(\boldsymbol{x = 36}\)。