二项式定理是用于展开两个数之和的整数次幂的公式，其表达式为：
对于任意正整数 n，有\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)
公式解析
- 符号说明：
- \(\binom{n}{k}\) 表示组合数，即从 n 个元素中选取 k 个元素的方法数，计算公式为 \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)。
- \(n!\) 表示 n 的阶乘，如 \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1\)。
- 展开式特点：
- 展开后共有 \(n+1\) 项。
- 每一项中 a 的指数从 n 依次递减至 0，b 的指数从 0 依次递增至 n。
- 各项系数为组合数 \(\binom{n}{k}\)，可通过杨辉三角快速确定（如 \(n=3\) 时，系数为 \(1, 3, 3, 1\)）。
示例
- 当 \(n=2\) 时：\((a + b)^2 = \binom{2}{0}a^2b^0 + \binom{2}{1}a^1b^1 + \binom{2}{2}a^0b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- 当 \(n=3\) 时：\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
延伸应用
- 通项公式：展开式的第 \(k+1\) 项为 \(T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)。
- 二项式系数性质：
- 对称性：\(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)。
- 系数和：\(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n\)（令 \(a=b=1\) 可得）。
如果需要具体题目应用或更深层次的推导，可以进一步说明哦！