求\(\frac{x+3y}{x^2+3y^2+4}\)的最大值。
用万能K值法时，可以对x、y分别配方后解关于K的值，以下结合求解\(\boldsymbol{\frac{x + 3y}{x^{2}+3y^{2}+4}}\)最大值的过程说明：
一、设K并整理式子
设\(\frac{x + 3y}{x^{2}+3y^{2}+4}=K\)，变形为\(x + 3y = K(x^{2}+3y^{2}+4)\)，进一步整理为\(Kx^{2}-x + 3Ky^{2}- 3y + 4K = 0\) 。
二、对x、y分别配方（以x为例，y同理 ）
把\(Kx^{2}-x\)看成关于x的二次式，配方：\(Kx^{2}-x=K\left(x^{2}-\frac{1}{K}x\right)=K\left[\left(x – \frac{1}{2K}\right)^{2}-\frac{1}{4K^{2}}\right]=K\left(x – \frac{1}{2K}\right)^{2}-\frac{1}{4K}\)（\(K\neq0\)，\(K = 0\)时原式值为0，不是最大值情况 ）。
同理，对\(3Ky^{2}- 3y\)配方：\(3Ky^{2}- 3y=3K\left(y^{2}-\frac{1}{K}y\right)=3K\left[\left(y – \frac{1}{2K}\right)^{2}-\frac{1}{4K^{2}}\right]=3K\left(y – \frac{1}{2K}\right)^{2}-\frac{3}{4K}\) 。
三、代入并分析等式
将配方后的式子代回\(Kx^{2}-x + 3Ky^{2}- 3y + 4K = 0\)，可得：\(K\left(x – \frac{1}{2K}\right)^{2}-\frac{1}{4K}+3K\left(y – \frac{1}{2K}\right)^{2}-\frac{3}{4K}+ 4K = 0\) 整理得：\(K\left(x – \frac{1}{2K}\right)^{2}+3K\left(y – \frac{1}{2K}\right)^{2}+\left(4K – \frac{1}{K}\right)= 0\) 。
因为平方项\(K\left(x – \frac{1}{2K}\right)^{2}\geqslant0\)、\(3K\left(y – \frac{1}{2K}\right)^{2}\geqslant0\)（要使式子有实数解，需\(K\gt0\)，若\(K\lt0\)，平方项非正，常数项也难满足等式 ），所以\(4K – \frac{1}{K}\leqslant0\) 。
四、解关于K的不等式
由\(4K – \frac{1}{K}\leqslant0\)（\(K\gt0\) ），两边乘K得\(4K^{2}- 1\leqslant0\)，即\(K^{2}\leqslant\frac{1}{4}\) ，结合\(K\gt0\)，解得\(0\lt K\leqslant\frac{1}{2}\) 。
当且仅当\(x – \frac{1}{2K}=0\)且\(y – \frac{1}{2K}=0\)（平方项为0 ），即\(x = \frac{1}{2K}\)，\(y = \frac{1}{2K}\)时取等号，代入验证可知\(K = \frac{1}{2}\)能满足条件，所以最大值为\(\frac{1}{2}\) 。
可见，用万能K值法时，对x、y分别配方后，能通过分析平方项非负性，构建关于K的不等式求解，是可行的思路，不过实际操作中，配方环节相对繁琐，常规利用一元二次方程判别式的方式（先消元，再用\(\Delta\geqslant0\) ）往往更简洁直接 。