\(若x>0,y>0,x+2y=20,求xy最大值。\)

\(若x>0,y>0,x+2y=20,求xy最大值。\)

方法（1）\(x,y代入消未知数\)

已知：\(x+2y=20\) ,则：\(x=20-2y\)

解：\(xy\) = \((20-2y)y\)

=\(20y-2y^2\)

=\(-2(y^2-10y)\)

=\(-2[(y-5)^2-25]\)

=\(-2(y-5)^2+50\)

即当：\(-2(y-5)^2 = 0\)时，\(xy\)的值最大。

得：xy的最大值为50。

（2）公式\(a^2+b^2 \geq 2ab\)

已知：\(x+2y=20\),

\((\sqrt{x})^2+(\sqrt{2y})^2=20\)

\((\sqrt{x})^2+(\sqrt{2y})^2 \geq 2\sqrt{x \cdot 2y}\)

\(20 \geq 2\sqrt{2xy}\)

\(10 \geq \sqrt{2xy}\)

\(100 \geq 2xy\)

即得：\(xy \leq 50\),解得xy的最大值是50。