\(已知：2x+3y=10,求xy最大值。\)

方法一、万能K值法

假设：\(xy\)最大值为K,则：\(xy \leq k\)

已知:\(2x+3y=10\),得\(y=\frac{10}{3}-\frac{2}{3}x\)

则：\((xy=\frac{10}{3}x-\frac{2}{3}x^2) \leq k\)

\(-\frac{2}{3}x^2+\frac{10}{3}x-k \leq 0\)

\(-2x^2+10x-3k \leq 0\)

\(-2(x^2-5x+\frac{3}{2}k) \leq 0\)

配方：\(-2[(x-\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}+\frac{3}{2}k] \leq 0 \)

因为:\(-2(x-\frac{5}{2})^2 \leq 0\),所以:\(-\frac{25}{4}+\frac{3}{2}k = 0 \)

得：\(k = \frac{25}{6}\)

方法二、代数法（配方法）

1. 用 x 表示 y
   • 由 \(2x + 3y = 10\)，得：\(y = \frac{10 – 2x}{3}\)
2. 代入 xy 并整理为二次函数\(xy = x \cdot \frac{10 – 2x}{3} = \frac{10x – 2x^2}{3} = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{10}{3}x\)
   • 这是一个关于 x 的二次函数，形如 \(y = ax^2 + bx + c\)，其中 \(a = -\frac{2}{3} < 0\)，函数图像开口向下，存在最大值。
3. 求二次函数的顶点横坐标
   • 二次函数顶点横坐标为 \(x = -\frac{b}{2a}\)，代入得：\(x = -\frac{\frac{10}{3}}{2 \cdot (-\frac{2}{3})} = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{5}{2}\)
4. 代入求最大值
   • 将 \(x = \frac{5}{2}\) 代入 \(y = \frac{10 – 2x}{3}\)，得：\(y = \frac{10 – 2 \cdot \frac{5}{2}}{3} = \frac{10 – 5}{3} = \frac{5}{3}\)
   • 因此，xy 的最大值为：\(xy = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{6}\)

方法三、均值不等式法

1. 变形方程以应用均值不等式
   • 对于正数 a 和 b，有 \(ab \leq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2\)。
   • 将 2x 和 3y 视为两个正数，则：\(2x \cdot 3y \leq \left(\frac{2x + 3y}{2}\right)^2\)
2. 代入已知条件计算
   • 已知 \(2x + 3y = 10\)，代入上式得：\(6xy \leq \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25\)
   • 两边同时除以 6，得：\(xy \leq \frac{25}{6}\)
   • 当且仅当 \(2x = 3y\) 时，等号成立。结合 \(2x + 3y = 10\)，可解得 \(x = \frac{5}{2}\)，\(y = \frac{5}{3}\)，与代数法结果一致。
3. 答案
   • \(xy\) 的最大值为 \(\frac{25}{6}\)。