一次函数和二次函数的求根公式
一次函数的标准形式为：
\[ f(x) = ax + b \quad (a \neq 0) \]
当 \( f(x) = 0 \) 时，求根公式为：
\[ x = -\frac{b}{a} \]
例如，对于一次函数 \( f(x) = 2x + 3 \)，其根为：
\[ x = -\frac{3}{2} = -1.5 \]
二次函数的标准形式为：
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) \]
其判别式为：
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
当 \( \Delta > 0 \) 时，方程有两个不同的实根：
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
当 \( \Delta = 0 \) 时，方程有一个重根：
\[ x = -\frac{b}{2a} \]
当 \( \Delta < 0 \) 时，方程没有实根，但有两个共轭复根：
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac – b^2}}{2a} \]
例如，对于二次函数 \( f(x) = x^2 – 5x + 6 \)，其中 \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 6 \)，判别式为：
\[ \Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1 \]
方程的两个根为：
\[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3 \quad \text{和} \quad x_2 = \frac{5 – \sqrt{1}}{2} = 2 \]