本题可通过配方法将\(x^{2}+2x + 4\)与\(2y^{2}+2y + 3\)进行变形，再结合等式求解x、y的值。
步骤一：对\(x^{2}+2x + 4\)和\(2y^{2}+2y + 3\)进行配方变形
- 对于\(x^{2}+2x + 4\)：
- 根据完全平方公式\((a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)，对\(x^{2}+2x + 4\)变形可得：
- \(x^{2}+2x + 4=(x^{2}+2x + 1)+3=(x + 1)^{2}+3\)
- 因为任何数的平方都大于等于0，即\((x + 1)^{2}\geq0\)，所以\((x + 1)^{2}+3\geq3\) 。
- 对于\(2y^{2}+2y + 3\)：
- 先提取公因式2，可得\(2y^{2}+2y + 3 = 2\left(y^{2}+y\right)+3\)。
- 再对\(y^{2}+y\)进行配方，根据完全平方公式，\(y^{2}+y=y^{2}+y+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=(y + \frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}\) 。
- 则\(2y^{2}+2y + 3 = 2\left[\left(y + \frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}\right]+3=2\left(y + \frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}+3=2\left(y + \frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{5}{2}\) 。
- 因为\(\left(y + \frac{1}{2}\right)^{2}\geq0\)，所以\(2\left(y + \frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{5}{2}\geq\frac{5}{2}\) 。
步骤二：分析等式\((x^{2}+2x + 4)(2y^{2}+2y + 3)=\frac{15}{2}\)
由前面的变形可知\((x + 1)^{2}+3\geq3\)，\(2\left(y + \frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{5}{2}\geq\frac{5}{2}\)，且\(3\times\frac{5}{2}=\frac{15}{2}\)，刚好等于等式右边的值。
所以当且仅当\(\begin{cases}(x + 1)^{2}+3 = 3\\2\left(y + \frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{5}{2}=\frac{5}{2}\end{cases}\)时等式成立。
步骤三：分别求解x和y的值
- 解\((x + 1)^{2}+3 = 3\)：
- 移项可得\((x + 1)^{2}=0\)，则\(x + 1 = 0\)，解得\(x = – 1\) 。
- 解\(2\left(y + \frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{5}{2}=\frac{5}{2}\)：
- 移项可得\(2\left(y + \frac{1}{2}\right)^{2}=0\)，即\(\left(y + \frac{1}{2}\right)^{2}=0\)，则\(y + \frac{1}{2}=0\)，解得\(y =-\frac{1}{2}\) 。
综上，\(x = – 1\)，\(y =-\boldsymbol{\frac{1}{2}}\) 。
配方的巧用：通过配方法把复杂二次式变形成平方加常数形式，像\(x^{2}+2x + 4\)配成\((x + 1)^{2}+3\) ，\(2y^{2}+2y + 3\)配成\(2(y + \frac{1}{2})^{2}+\frac{5}{2}\)，利用平方非负性锁定取值，让看似难处理的式子变清晰，这方法在二次式相关问题里超实用，得牢记。
对等式的观察：算出两个变形后式子的最小值，发现乘积刚好等于\(\frac{15}{2}\)，就知道得让两个式子分别取最小值，把等式转化成方程组，这种观察等式两边、结合式子范围的思路，能帮我们找到解题突破口，以后遇到类似等式含多个变量，要多从式子取值范围和等式结果关联去想。
变量求解的简洁性：最后解方程组，因为平方项为0，直接得出x、y的值，过程简单，这也体现前面配方和分析的重要性，只要前面步骤对，后面计算就水到渠成，所以解题时前期的变形和分析是关键，把基础工作做好，结果自然就出来啦。